Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+acosB=2ccosC，△ABC的面積為．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求邊長c．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理將邊化成角，再根據和角公式進行化簡即可求出角C；
（2）根據面積先求出b，再利用余弦定理建立關于c的等式關系，解方程即可．
解答：解：（Ⅰ）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
將②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化簡，得sin（A+B）=sinC=2sinCcosC．（5分）
∵sinC≠0，
∴，
∴．（7分）
（Ⅱ）∵△ABC的面積為，
∴，
∴ab=16．
又∵a=2，
∴b=8．
由余弦定理得，
即，
∴．（12分）
點評：本題主要考查了正弦定理與余弦定理的應用，正弦定理、余弦定理是解決有關斜三角形的兩個重要定理，屬于基礎題．