Question

19．《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的無字證明為（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）
• B． a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0）
• C． $\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）
• D． $\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$（a＞0，b＞0）

Answer 1

分析 由圖形可知：OF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{a+b}{2}$，OC=$\frac{a-b}{2}$．在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．利用CF≥OC即可得出．

解答 解：由圖形可知：OF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{a+b}{2}$，OC=$\frac{a-b}{2}$．
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．
∵CF≥OC，
∴$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．（a，b＞0）．
故選：D．

點評 本題考查了圓的性質、勾股定理、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．