Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+bx2+cx，b，c∈R，且函數f（x）在區間（-1，1）上單調遞增，在區間（1，3）上單調遞減．
（Ⅰ）若b=-2，求c的值；
（Ⅱ）求證：c≥3．

Answer 1

分析：（1）由題意得x=1是函數的一個極值點，先求導數fˊ（x），根據f^‘（1）=0即可求得c；
（2）根據第一問可知b=-

c+1

2

，將其代入f（x）進行化簡整理，研究它的單調區間，結合圖象法求出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得f'（1）=0
又f'（x）=x²+2bx+c
f'（1）=1+2b+c=0，
將b=-2代入，可得c=3
（Ⅱ）可知b=-

c+1

2

，代入f′（x）可得f′（x）=x²-（c+1）x+c．
令f'（x）=0，則x₁=1，x₂=c．
又當-1＜x＜1時，f'（x）≥0，當1＜x＜3時，f'（x）≤0
如圖所示；
易知c≥3．

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．