Question

已知A，B是△ABC的兩個內角，

a

=

2

cos

A+B

2

i

+sin

A-B

2

j

（其中

i

，

j

是互相垂直的單位向量），若|

a

|=

6

2

．
（1）試問tanA•tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的公式得出關于角A，B的三角方程，利用二倍角公式、和差角公式化簡三角方程，兩邊同除以cosAcosB得結論．
（2）據三角形的內角和為π，利用誘導公式求出tanC與tanA、tanB的關系，再利用基本不等式求出最大值．據三角形中，正切為負角為鈍角，判斷出三角形的形狀．

解答：解：（1）：|

a

|2 =2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

3

2

，
1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

cosAcosB-sinAsinB-

cosAcosB+sinAsinB

2

=0

1

2

-

3tanAtanB

2

=0則tanAtanB=

1

3

（2）由（1）可知A、B為銳角
tanC=-tan（B+A）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3(tanA+tanB)

2

≤-3

tanAtanB

=-

3

所以tanC的最大值為-

3

此時三角形ABC為鈍角三角形．

點評：本題考查求 向量的模的坐標公式；三角函數的二倍角公式；三角函數的和差角公式；三角函數的同角公式；利用基本不等式求函數的最值．