Question

拋物線y=ax²的焦點恰好為雙曲線y²-x²=2的一個焦點，則a=

1

8

或-

1

8

．

Answer 1

分析：將雙曲線化成標準方程，可得它的焦點在y軸且a²=b²=2，得它的焦點坐標為（0，2）或（0，-2）．拋物線y=ax²化成標準方程，得它的焦點為F（0，

1

4a

），結合題意得

1

4a

=2或

1

4a

=-2，解之即得實數a的值．

解答：解：雙曲線y²-x²=2化成標準方程，得

y2

2

-

x2

2

=1
∴雙曲線的焦點在y軸，且a²=b²=2
因此雙曲線的半焦距c=

a2+b2

=2，得焦點坐標為（0，2）或（0，-2）
∵拋物線y=ax²即x²=

1

a

y，得它的焦點為F（0，

1

4a

），且F為雙曲線的一個焦點
∴

1

4a

=2或

1

4a

=-2，解之得a=

1

8

或-

1

8

故答案為：

1

8

或-

1

8

點評：本題給出拋物線的焦點恰好是雙曲線兩個焦點中的一個，求參數a的值，著重考查了拋物線的方程和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．