Question

下列五個命題，其中真命題的序號是

 

（寫出所有真命題的序號）．
（1）已知C：

x2

2-m

+

y2

m2-4

=1（m∈R），當m＜-2時C表示橢圓．
（2）在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上有一點P，F₁、F₂是橢圓的左，右焦點，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P有8個．
（3）曲線

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)與曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）漸近線方程為y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=1
（5）拋物線y=ax²的焦點坐標為(0，

1

4a

)．

Answer 1

分析：（1）先根據橢圓方程中2-m不等于m²-4即可得出答案．
（2）由條件知，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，故有圓的半徑大于或等于短半軸的長度．結合圓與橢圓的位置關系求得答案．
（3）分別求得曲線

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)與曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距即可；
（4）根據題意，近線方程為y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=λ(λ≠0)；
（4）先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得焦點坐標．

解答：解：（1）當m=-3時，橢圓的方程變為C：

x2

5

+

y2

5

=1表示一個圓，故錯；
（2）F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=90°，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，圓的半徑r=c≥b，
∴圓與橢圓最多有4個交點，∴，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P最多有4個．故錯；
（3）曲線

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)與曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距都為4，相同，故正確；
（4）根據題意，近線方程為y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=λ(λ≠0)故錯；
（5）整理拋物線方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦點坐標為 (0，

1

4a

)故正確．
故答案為：（3）（5）

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征、橢圓的標準方程和簡單性質的應用．解決橢圓的標準方程的問題．要注意：對于橢圓標準方程

x2

a2

+

y2

b2

= 1，當焦點在x軸上時，a＞b；當焦點在y軸上時，a＜b．