Question

已知：f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意a、b∈R，滿足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且f(2)=2，an=

f(2-n)

n

，則數列{a_n}的通項公式a_n=

-

1

2n

．

Answer 1

分析：令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n），設A_n=f（2^-n），可得A_n-1=2^-n-1+2A_n，從而可知數列{

An

2-n

}是以-1為，-1為首項的等差數列，故可求數列{A_n}的通項公式，從而得出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=

1

2

，得f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2），且f（2）=2，∴f（

1

2

）=-

1

2

，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
設A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-n-1+2A_n，
∴

An-1

2-(n-1)

=1+

An

2-n

，即

An

2-n

-

An-1

2-(n-1)

=-1，且

A1

2-1

=

f( 1 2 )

1 2

=-1
即數列{

An

2-n

}是以-1為，-1為首項的等差數列
∴

An

2-n

=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴an=-

1

2n

．
故答案為：-

1

2n

．

點評：本題考查數列的函數特性、等差數列的定義，涉及抽象函數的應用，屬中檔題．