Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f(1)=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，則不等式x²f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

分析：當x＞0時，根據已知條件中

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，我們不難判斷函數f（x）的導函數f'（x）的符號，由此不難求出函數的單調性，再由函數f（x）是定義在R上的奇函數，及f（1）=0，我們可以給出各個區間f（x）的符號，由此不難給出不等式x²f（x）＞0的解集．

解答：解：由

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，即[

f(x)

x

]′＞0；
則

f(x)

x

在（0，+∞）為增函數，且當x=1時，有

f(1)

1

=f（1）=0；
故函數

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，則此時f（x）＜0，
同理，函數

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，則此時f（x）＞0，
故又由函數f（x）是定義在R上的奇函數
∴當x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0
當x∈（-1，0）時，f（x）＞0；
而x²f（x）＞0?f（x）＞0，
故不等式x²f（x）＞0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點評：本題考查的知識是函數的單調性和函數的奇偶性，這兩個函數綜合應用時，要注意：奇函數在對稱區間上單調性相同，偶函數在對稱區間上單調性相反．