Question

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），計算可得答案；
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），進而由（1）的結論，可得f（-x）=-f（x），考慮f（x）的定義域，可得答案；
（3）設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，結合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），又由題意，x＞0時，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），即可得證明．

解答：解：（1）根據題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
又x∈[-1，1]，其定義域關于原點對稱，
∴f（x）是奇函數．
（3）設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．
∵x＞0時，有f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在[-1，1]上是增函數．

點評：本題考查抽象函數的應用，涉及函數奇偶性、單調性的判斷，解此類題目，注意特殊值法的運用．