Question

如圖（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB²=BD．BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

Answer 1

分析：利用類比推理，將平面中的線與空間中的面類比，得到類比結論．
通過連接DM，據BC⊥AM，BC⊥AD得到BC⊥ADE得到BC⊥ED得到滿足平面條件的三角形AED，利用平面三角形的性質得證．

解答：解：命題是：三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，
則有S_△ABC²=S_△BCM•S_△BCD是一個真命題．
證明如下：
在圖（2）中，連接DM，并延長交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC．
因為AD⊥面ABC，所以AD⊥AE．
又AM⊥DE，所以AE²=EM•ED．
于是S△ABC2=(

1

2

BC•AE)2(

1

2

BC•EM)•(

1

2

BC•ED)=S_△BCM•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCM•S_△BCD

點評：本題考查類比推理及利用平面的性質證明空間的結論．考查空間想象能力，邏輯思維能力．