Question

如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分別是AB、PC的中點.

(1)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小;

(2)求證:平面MND⊥平面PCD.

Answer 1

(1)解:∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,

∴PD⊥CD.

故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.

在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,

∴∠PDA=45°.

(2)證明:取PD中點E,連結(jié)AE、EN,如右圖,又M、N分別是AB、PC的中點,∴ENAB.

∴AMNE是平行四邊形

.∴MN∥AE.

在等腰Rt△PAD中,AE是斜邊的中線,

∴AE⊥PD.又CD⊥AD,CD⊥PD,

∴CD⊥平面PAD.

∴CD⊥AE.又PD∩CD=D,

∴AE⊥平面PCD.

∴MN⊥平面PCD.

又∵M(jìn)N平面DMN.

∴平面MND⊥平面PCD.