Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點，F在PC上．
（1）求F在何處時，EF⊥平面PBC；
（2）在條件（1）下，EF是否為PC與AD的公垂線段？若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；
（3）在條件（1）下，求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

（1）以A為坐標原點，分別以射線AD、AB、AP為x軸、
y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），P（0，0，，B（0，，0），C（2，，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令，
設F（x，y，z），=（2，0，0），=（2，，，，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴，
又∵，∴，x=1，，
故F為PC的中點…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC與AD的公垂線段，
∵，x=1，，∴，，，即…（8分）
（3）由（1）可知=（2，，，且PB=BC=2，F為PC的中點，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴為平面BEF的一個法向量，
而，，0），設BD與平面BEF所成角為θ，
則，
∴，
故BD與平面BEF所成的角為．…（12分）
分析：（1）、建立空間坐標系利用空間向量共線、空間向量垂直建立方程計算出F點坐標，從而判斷出F是PC中點；
（2）、利用（1）的結論及BC轉化了垂直關系，再利用空間兩點間的距離公式計算出；
（3）、找到法向量，再利用直線與平面的夾角計算公式，可得到夾角．
點評：本題重點考查了空間向量共線、垂直，空間兩點間的距離公式，直線與平面的夾角計算公式．鍛煉了學生幾何問題代數化和學生的計算能力．