Question

16．已知函數f（x）=-Acos（ωx+ϕ）+$\sqrt{3}$Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2，周期為π，將函數y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位得到函數y=g（x）的圖象，若函數y=g（x）是偶函數，則函數f（x）的一條對稱軸為（　�。�

• A． x=-$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{π}{12}$
• C． x=-$\frac{π}{12}$
• D． x=$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數的解析式，由函數的最值求出A，由周期求出ω，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律、正弦函數的奇偶性求出φ，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性得出結論．

解答 解：函數f（x）=-Acos（ωx+ϕ）+$\sqrt{3}$Asin（ωx+ϕ）=2Asin（ωx+ϕ-$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2A=2，
∴A=1．
∵該函數的周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+ϕ-$\frac{π}{6}$）．
將函數y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位得到函數y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+ϕ-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+ϕ-$\frac{π}{3}$） 的圖象，
若函數y=g（x）是偶函數，則ϕ-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函數f（x）的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
故選：C．

點評 本題主要考查三角恒等變換，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的最值求出A，由周期求出ω，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律、正弦函數的奇偶性求出φ，正弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題．