Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n為數列{a_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

an+1

an

=

n+1

2n

，由此利用累乘法能求出a_n．
（2）由S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，利用錯位相減法能求出數列{a_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an，
∴

an+1

an

=

n+1

2n

，∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

2

2

×

3

4

×

4

6

×…×

n

2n-2

=

n

2n+1

．
（2）S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2n+2

=

1

2

-

1

2n+1

-

1

2n+2

，
∴S_n=1-

1

2n

-

1

2n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．