Question

如下圖所示，一個矩形花園里需要鋪設兩條筆直的小路，已知矩形花園的長AD＝5 m，寬AB＝3 m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點D，問是否在BC上存在一點M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長．

[分析]　建立適當的坐標系，轉幾何問題為代數運算．

Answer 1

[解析]　以B為坐標原點，BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．

因為AD＝5 m，AB＝3 m，

所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．

設點M的坐標為(x,0)，因為AC⊥DM，

所以k_AC·k_DM＝－1，

即·＝－1.

所以x＝3.2，即BM＝3.2，

即點M的坐標為(3.2,0)時，兩條小路AC與DM相互垂直．

故在BC上存在一點M(3.2,0)滿足題意．

由兩點間距離公式得DM＝＝.

[點評]　建立直角坐標系的原則：

(1)若條件中只出現一個定點，常以定點為原點建立直角坐標系；

(2)若已知兩定點，常以兩點的中點(或一個定點)為原點，兩定點所在的直線為x軸建立直角坐標系；

(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們為坐標軸建立直角坐標系；

(4)若已知一定點和一定直線，常以定點到定直線的垂線段的中點為原點，以定點到定直線垂線段的反向延長線為x軸建立直角坐標系；

(5)若已知定角，常以定角的頂點為原點，定角的角平分線為x軸建立直角坐標系．