Question

如下圖所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a,PA⊥平面ABCD，PA=1.

（1）在BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD？說明理由.

（2）若BC邊上有且僅有一個點Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的正弦值.

（3）在（2）的條件下，能求出平面PQD與平面PAB所成的角的大小嗎？

Answer 1

解:（1）假設BC邊上存在Q點，使得PQ⊥QD，則連結AQ，必有∠AQD=90°,故問題轉化為:在邊BC上是否存在點Q，使得∠AQD=90°?

    由平面幾何知識，問題又可轉化為:以AD為直徑作圓，是否與BC邊有交點？

易知，當AB≤AD，即a≥2時，BC邊上存在點Q，使得∠AQD=90°,從而由三垂線定理有PQ⊥QD；

    當AB＞AD，即a＜2時，不存在點Q，使得PQ⊥QD.

（2）當BC邊上有且僅有一個點Q，使得PQ⊥QD，可知BC=2，點Q為BC邊的中點.

∵DQ⊥AQ，DQ⊥PA，

∴DQ⊥平面PAQ.

∴平面PAQ⊥平面PQD.過A點作AE⊥PQ于E點，連結DE，

∴AE⊥平面PDQ.

∴∠ADE為AD與平面PDQ所成的角.

    在Rt△PAQ中，PA·AQ=AE·PQ，

∴AE=.

    在Rt△AED中，sin∠ADE=.

（3）延長DQ、AB交于F點，則二面角D—PF—A即為所求.

∵AD⊥AB，AD⊥PA，

∴AD⊥平面PAB.過A作AH⊥PF于H點，連結DH，則DH⊥PF，

∴∠DHA為二面角D—PF—A的平面角.

    在Rt△PAF中，

∵AH·PF=PA·FA，

∴AH=.

    在Rt△DAH中，tan∠DHA=,

∴∠DHA=arctan.

∴平面PQD與平面PAB所成角為arctan.