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已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[-
π
3
，
π
4
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|，求f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）由向量數量積的坐標表示可得，
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
=cos2x．
a
+
b
=(cos
3x
2
+cos
x
2
 ，sin
3x
2
-sin
x
2
)，結合x∈[-
π
3
，
π
4
]，可求
（2）因為f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-2cox=2cos2x-2cosx-1=2（cosx-
1
2
)2-
3
2
，由x∈[-
π
3
，
π
4
]，可得
1
2
≤cosx≤1．結合二次函數的性質可求
解答：解：（1）∵
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
=cos2x．
a
+
b
=(cos
3x
2
+cos
x
2
 ，sin
3x
2
-sin
x
2
)
∴|
a
+
b
|=
(cos
3
2
x+cos
x
2
)2+(sin
3
2
x-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2|cosx|
因為x∈[-
π
3
，
π
4
]，所以cosx＞0．即|
a
+
b
|=2cosx．
（2）因為f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-2cox=2cos2x-2cosx-1=2（cosx-
1
2
)2-
3
2
-
3
2

∵x∈[-
π
3
，
π
4
]，∴
1
2
≤cosx≤1．
∴當cox=
1
2
時，f（x）取得最小值-
3
2

當cosx=1，f（x）取得最大值-1．
點評：本題主要考查了向量的基本運算的坐標表示，向量的數量積的坐標表示，三角函數與向量的綜合考查是高考的重點內容之一，要注意掌握
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實數k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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