Question

（2013•鄭州一模）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（I）當a=1時，求f（x）≤3的解集；
（II）當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）去掉絕對值符號即可得出f（x）=|2x-1|+|x-2|=

3x-3，當x≥2時 x+1，當 1 2 ＜x＜2時 -3x+3，當x≤ 1 2 時

，分類討論f（x）≤3解出即可；
（II）當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立?|x-2a|≤4-2x恒成立，x∈[1，2]?2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立，x∈[1，2]，?

3

2

x-2≤a≤2-

1

2

x恒成立，x∈[1，2]進而可求范圍．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=|2x-1|+|x-2|=

3x-3，當x≥2時 x+1，當 1 2 ＜x＜2時 -3x+3，當x≤ 1 2 時

，
①當x＞2時，f（x）＞3；
②當

1

2

≤x≤2時，

3

2

≤f(x)≤3；
③當x＜

1

2

時，f（x）=-3x+3，由-3x+3≤3，解得x≥0，∴0≤x＜

1

2

．
綜上可知：0≤x≤2．
故f（x）≤3的解集為{x|0≤x≤2}；
（II）∵x∈[1，2]，∴|2x-1|=2x-1，
由f（x）≤3，可得2x-1+|x-2a|≤3，即|x-2a|≤4-2x，
∵x∈[1，2]，∴4-2x≥0．
∴當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立?|x-2a|≤4-2x恒成立，x∈[1，2]．
?2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立，x∈[1，2]，
?

3

2

x-2≤a≤2-

1

2

x恒成立，x∈[1，2]．
解得a=1．
故實數a的取值范圍是a=1．

點評：熟練掌握絕對值不等式的解法、分類討論的思想方法、等價轉化思想等是解題的關鍵．