Question

（2012•泉州模擬）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

a 2 -1 3

的一個特征值為1．
（Ⅰ）求矩陣M的另一個特征值；
（Ⅱ）設α=

3 2

，求M⁵α．

Answer 1

分析：（I）根據矩陣M的一個特征值為1，代入特征多項式求出a的值，從而求出另一個特征值；
（Ⅱ）分別求出特征值所對應的特征向量，然后將向量

α

用兩特征向量線性表示，根據公式M⁵α=M⁵（ξ₁+ξ₂）=λ₁⁵ξ₁+λ₂⁵ξ₂進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）矩陣M的特征多項式f(λ)=

λ-a -2 1 λ-3

=（λ-a）（λ-3）+2，…（1分）
又∵矩陣M的一個特征值為1，
∴f（1）=0，∴a=0，…（2分）
由f（λ）=λ（λ-3）+2=0，得λ₁=1，λ₂=2，
所以矩陣M的另一個特征值為2．…（3分）
（Ⅱ）矩陣M的一個特征值為λ₁=1，對應的一個特征向量為ξ1=

2 1

，…（4分）
另一個特征值為λ₂=2，對應的一個特征向量為ξ2=

1 1

，…（5分）
∵α=ξ₁+ξ₂，
∴M⁵α=M⁵（ξ₁+ξ₂）=15

2 1

+25

1 1

=

3 4 3 3

．…（7分）

點評：本題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎知識，考查運算求解能力及函數與方程思想，屬于基礎題．