Question

設a＞0，b＞0，a+b=1．
（1）試比較a²+b²與ab的大��；
（2）證明：ab+

1

ab

≥4

1

4

．

Answer 1

分析：（1）用作差法比較兩個數的大小，先做差，再對所得的差配方得出差的符號，即可判斷出兩式的大�。�
（2）先將不等式轉化為ab+

1

ab

≥4

1

4

?4a²b²-17ab+4≥0然后再整理成兩個因子的乘積即ab+

1

ab

≥4

1

4

?（4ab-1）（ ab-4）≥0，由此判斷知需要先研究ab的取值范圍，再判斷（4ab-1）（ ab-4）≥0成立，即可證明不等式

解答：解：（1）∵a＞0，b＞0
∴a2+b2-ab=(a-

b

2

)2+

3

4

b2＞0
∴a²+b²＞ab．…（5分）
（2）證明：ab+

1

ab

≥4

1

4

?4a²b²-17ab+4≥0
??（4ab-1）（ ab-4）≥0．
∵ab=（

ab

）²≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
∴4ab≤1，
而又∵a+b=1
∴ab≤

1

4

＜4，
因此（4ab-1）（ab-4）≥0成立，故ab+

1

ab

≥4

1

4

．…（12分）

點評：本題考查不等式的證明與大小比較，解題的關鍵是掌握不等式的證明方法比較法，及等價轉化的技巧，不等式證明最基本的訪求即為比較法，現在的高中教材對不等式的證明基本上就是要求掌握住比較法，綜合法，分析法，不等式證明的難度與要求大降低，對基本的證明方法要認真研究其規律，嫻熟運用．