Question

已知函數f（x）=（ω＞0，x∈R）的最小正周期為．
（1）求f（x）的解析式，并寫出函數f（x）圖象的對稱中心的坐標；
（2）當x∈[]時，設a=2^f（x），解不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sin2ωx-+
=sin2ωx-cos2ωx
=sin（2ωx-）．又f（x）的最小正周期為，
∴=，
∴ω=2，故f（x）=sin（4x-）
∴由4x-=kπ得：x=+，k∈Z，
∴函數f（x）圖象的對稱中心的坐標為：（+，0）k∈Z，
（2）∵≤x≤，
∴≤4x-≤，
∴f（x）=sin（4x-）＜0．
∴0＜a=2^f（x）＜1．
∵log_a（x²+x）＞log_a（x+2），
∴0＜x²+x＜x+2，
∴-＜x＜-1或0＜x＜．
當x∈[]時，不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集為：{x|-＜x＜-1或0＜x＜}．
分析：（1）利用二倍角公式與輔助角公式即可求得f（x）的解析式，從而可寫出函數f（x）圖象的對稱中心的坐標；
（2）根據f（x）=sin（4x-），x∈[]時，a=2^f（x），求得a∈（0，1）從而可求得不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集．
點評：本題考查二倍角公式與輔助角公式，考查正弦函數的對稱性與值域，突出考查解對數不等式，注重綜合分析與應用能力的考查，屬于難題．