Question

雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．已知||、||、||成等差數列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．
（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將AB方程代入，運用根與系數的關系及弦長公式，求出待定系數，可求出雙曲線方程．
解答：解：（1）設雙曲線方程為由，同向，
∴漸近線的傾斜角為（0，），
∴漸近線斜率為：
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴
∴
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=
而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan
∴；
∴
∴
（2）由第（1）知，a=2b，可設雙曲線方程為-=1，c=b，
∴AB的直線方程為 y=-2（x-b），代入雙曲線方程得：15x²-32bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
4=，16=-，
∴b²=9，所求雙曲線方程為：-=1．
點評：做到邊做邊看，從而發現題中的巧妙，如據，聯想到對應的是2漸近線的夾角的正切值．