Question

對于在區(qū)間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現(xiàn)有兩個函數(shù)與（a > 0且），給定區(qū)間．
（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論與在給定區(qū)間上是否友好．

Answer 1

(1) ；(2) 當時，在上是友好的，當時，在上是不友好的

試題分析：（1）函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，必須滿足（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，
則|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*），因為a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右側(cè)，
所以函數(shù)g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區(qū)間[a+2，a+3]上為減函數(shù)，從而，于是不等式（*）成立的充要條件是，因此，當時，在上是友好的； 當時，在上是不友好的
點評：此類問題要求學生熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及新定義的運用，屬于中檔題．