Question

【題目】對于無窮數列的某一項，若存在，有成立，則稱具有性質.

（1）設，若對任意的，都具有性質，求的最小值；

（2）設等差數列的首項，公差為，前項和為，若對任意的數列中的項都具有性質，求實數的取值范圍；

（3）設數列的首項，當時，存在滿足，且此數列中恰有一項不具有性質，求此數列的前項和的最大值和最小值以及取得最值時對應的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）時，最大值為；或時，最小值為.

【解析】

（1）計算得出、、，求得每種情況下對應的最小值，進而可得出結果；

（2）求得，根據題意得出對任意的恒成立，可得出，由此可得出的取值范圍；

（3）根據題意得出，根據存在滿足，得出、、、依次為：、、、、，進一步得知：欲使此數列的前項和最大，、、、依次為：、、、，欲使此數列的前項和最小，、、、依次為：、、、，分別計算出兩種情況下數列的前項和，根據表達式可求得前項和分別取最大值或最小值時對應的值.

（1）經計算知：，此時；，此時；

當時，，此時.

綜上可知，，即對任意的，都具有性質時，的最小值為；

（2）由已知可得，，若對任意的，數列中的都具有性質，則對任意的恒成立，

即，整理得：.

因為，則，所以.

因此，實數的取值范圍是；

（3）對于，，

因為、、、都具有性質，所以，

而當時，存在滿足，

所以、、、依次為：、、、、，

由已知不具有性質，故的可能值為、、、，

又因為、、、都具有性質，所以，

欲使此數列的前項和最大，、、、依次為：、、、，

欲使此數列的前項和最小，、、、依次為：、、、，

下面分別計算前項和：，

當時，此數列的前項和最大，最大值為；

.

當且僅當時，即時等號成立，但，

這時取或時，此數列的前項和最小，最小值為.