Question

【題目】如圖，四棱臺中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由底面，得，再由底面是菱形，得，利用直線與平面垂直的判定可得平面，進一步得到；

（2）設交于點，依題意，且，得到底面．以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．求出平面的一個法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值求解直線與平面所成線面角的正弦值．

（1）因為底面，所以

因為底面是菱形，所以

又，所以平面

又由四棱臺知，，，，四點共面

所以

（2）如圖，設交于點，依題意，且，

，且，

又由已知底面，得底面．

以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖

設交于點，依題意，且，所以

則，，，，

由，得

因為是棱中點，所以

所以，，

設為平面的法向量

則，取，得

設直線與平面所成線面角為，則

所以直線與平面所成線面角的正弦值