Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在處的切線方程，并證明：.

（2）當時，方程有兩個不同的實數根，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求出導函數，利用導數的幾何意義以及點斜式方程可求切線方程；構造函數，利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最小值即證.

（2）為方程的兩根，不妨設，由在上單調遞增，根據零點存在性定理可知，存在，使，由，得，由（1）可得，，然后利用分析法即可證出.

解：（1）因為，

所以，， 即切線方程：

下證：，

令

在上單調遞增，且

所以，在遞減，在遞增，

所以.

所以.

（2），為方程的兩根，

不妨設，顯然在上單調遞增.

且所以存在，使

當，，遞減；

，，遞增.

由，得，又由（1）知

所以：，

要證：，需證：，即證：

，，即證：.

即：

令

，

在單調遞增，且.

所以，，在單調遞增.

所以

所以不等式成立.