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已知：如圖，O₁與O₂外切于點P，經過O₁上一點A作O₁的切線交O₂于B、C兩點，直線AP交O₂于點D，連接DC、PC．
求證：DC²=DP•DA．

分析：相切兩圓常作的輔助線是：兩圓的公切線，因此過點P作兩圓的內公切線EP交AB于點F，然后證得△CDP∽△ADC，可得證．

解答：證明：過點P作兩圓的內公切線EP交AB于點F，
∵FE、CA都與圓O₁相切，

∴EP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPA=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴

；
∴DC²=DP•DA．

點評：將圓的有關知識與三角形相似結合考查，有一定難度；命題立意：此題主要考查相切兩圓的位置關系及弦切角定理，三角形相似的判定等知識．

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（1）（不等式選講）已知函數f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a），當函數f（x）的定義域為R時，則實數a的取值范圍為

（-∞，4）

（2）（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，且AD=5DB，設∠COD=θ，則tanθ的值為

．

（3）（坐標系與參數方程）圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，則經過兩圓圓心的直線的直角坐標方程為

y=x+2

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區域內作答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O₁內切于點T，P是外圓⊙O上任意一點，連PT交⊙O₁于點M，PN與內圓⊙O₁相切，切點為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

2	1
3	4

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中，求圓C的參數方程為

x=-1+rcosθ

y=rsinθ

(θ為參數r＞0），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+

)=2

．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a²+b²+c²=1，求證：1＜a+b＜

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長AB=2，AB₁⊥BC₁，點O、O₁分別是邊AC，A₁C₁的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）求正三棱柱的側棱長；
（2）若M為BC₁的中點，試用基向量

AA1

、

表示向量

；
（3）求異面直線AM與BC所成角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點，OM為⊙O₁的切線，切點為M，且M在第一象限，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求切線OM的函數解析式；
（3）線段OM上是否存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013屆重慶市高二上學期期中理科數學試卷 題型：解答題

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，底面邊長AB=2，AB₁⊥BC₁，點O、O₁分別是邊AC，A₁C₁的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

⑴求正三棱柱的側棱長.

⑵若M為BC₁的中點，試用基向量、、表示向量；

⑶求異面直線AB₁與BC所成角的余弦值．

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