Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點，OM為⊙O₁的切線，切點為M，且M在第一象限，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求切線OM的函數解析式；
（3）線段OM上是否存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B兩點坐標，代入函數解析式，可構造關于b，c的方程，解方程可得b，c的值，進而得到二次函數的解析式；
（2）根據圓心切線OM的距離等于半徑構造方程，可求出切線的斜率，進而得到切線OM的函數解析式
（3）線段OM上存在一點P，此時所得三角形必要直角三角形，故過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁，過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，均滿足要求．

解答：解：（1）∵圓心O₁的坐標為（2，0），⊙O₁半徑為1，
∴A（1，0），B（3，0）…（1分）
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A，B，
∴可得方程組

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

  …（2分）
解得：

b=4 c=-3

∴二次函數解析式為y=-x²+4x-3        …（4分）
（2）由題意易知所求直線的斜率存在且大于0，
設切線OM為y=kx，（k＞0）
由點到直線的距離d=r，可得

|2k|

k2+1

=1                   …（6分）
解得k=

3

3

或k=-

3

3

（舍去）
∴切線OM的函數解析式為y=

3

3

x…（8分）
（3）存在．
①過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁．
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O
則由

y= 3 3 x x=1

，解得

y= 3 3 x=1

∴點P₁的坐標為（1，

3

3

）          …（11分）
②過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，可得Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO
則由

y= 3 3 x y= -1 kOM (x-1)

，解得

y= 3 4 x= 3 4

∴P₂點的坐標為（

3

4

，

3

4

）
∴符合條件的P點坐標有（1，

3

3

），（

3

4

，

3

4

）          …（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的解析式，直線與圓的位置關系，三角形相似，直線的交點等問題，是解析幾何的綜合應用，難度不大，屬于中檔題．