Question

函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

成立．
（Ⅰ）求和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)（n∈N^*）的值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}滿足條件；an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，試證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

成立可令x=

1

n

，則可求f(

1

n

)+f(

n-1

n

)
（Ⅱ）由an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)可得an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)，利用倒序相加可求a_n，進(jìn)而可證數(shù)列{a_n} 是等差數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

成立
∴f(

1

2

)=

1

4

，令x=

1

n

，則有f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

（Ⅱ）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
兩式相加可得，2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+… +[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)] +[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以數(shù)列{a_n} 是等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值求抽象函數(shù)的函數(shù)值及利用倒序相加求解數(shù)列的和的方法的應(yīng)用，要注意該方法是推倒等差數(shù)列的求和公式的方法．