Question

已知函數f（x）=x+

a

x

+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數g（x）=xf（x）對任意x∈[2，5]時，g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性定義去證明函數的單調性．
（2）利用（1）的證明結論，利用函數的單調性求參數m的取值范．
（3）要使g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，實質是最值恒成立，只需求出函數g（x）+2x+

3

2

的最小值即可，在求最小值的過程中可以使用基本不等式來求．

解答：解：（1）由題得f（x）=x+

a

x

+a，設1≤x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

…（2分）
因為1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0…（4分）
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上為增函數，要滿足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-

1

2

 ①
因為x∈[2，5]時，x+1∈[3，6]，那么①式可轉化為a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

…（9分）
所以題目等價于化為a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函數y=-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=(x+1)+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，則t∈[3，6]，所以y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

，
在t∈[3，6]，上為增函數，所以最小值為

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．…（12分）

點評：本題考查了函數的單調性的定義以及函數單調性的應用．不等式恒成立往往轉為最值恒成立．求函數的最值，可以使用導數，單調性以及基本不等式等方法去求最值．