Question

若定義在（0，+∞）上的函數f（x）對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當x＞1時f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

Answer 1

分析：（I）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）
（II）設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進而由定義得出函數的單調性．
（III）由已知可得，f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=-3，原不等式可轉化為f[x（x-2）]＞f（8），結合函數的單調性可得關于x的不等式，可求

解答：解；（I）∵對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）
令x=y=1可得f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
（II）函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
證明如下：設x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1
∵當x＞1時f（x）＜0．
∴f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f（

x1

x2

）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
（III）∵f（2）=-1，f（1）=0，f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=-3
∵f（x-2）+f（x）＞-3
∴f[x（x-2）]＞f（8）
∵函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

∴2＜x＜4

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數單調性的能力．