Question

若直線y=-x+m與曲線y=

5- 1 4 x2

只有一個公共點，則m的取值范圍是（　　）

• A、-1≤m＜2
• B、-2

  5

  ≤m≤2

  5

• C、-2≤m＜2或m=5
• D、-2

  5

  ≤m≤2

  5

  或m=5

Answer 1

分析：根據曲線方程的特征，發現曲線表示在x軸上方的圖象，畫出圖形，根據圖形上直線的三個特殊位置，當已知直線位于直線l₁位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去y得到關于x的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應的m的值；當已知直線位于直線l₂及直線l₃的位置時，分別求出對應的m的值，寫出滿足題意得m的范圍，綜上，得到所有滿足題意得m的取值范圍．

解答：解：根據曲線y=

5- 1 4 x2

，得到5-

1

4

x²≥0，解得：-2

5

≤x≤2

5

；y≥0，
畫出曲線的圖象，為橢圓在x軸上邊的一部分，如圖所示：
當直線y=-x+m在直線l₁的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，
把直線y=-x+m代入橢圓方程得：5x²-8mx+4m²-20=0，得到△=0，
即64m²-20（4m²-20）=0，化簡得：m²=25，解得m=5或m=-5（舍去），
則m=5時，直線與曲線只有一個公共點；
當直線y=-x+m在直線l₂位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時m=2

5

，
當直線y=-x+m在直線l3位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時m=-2

5

，
則當-2

5

≤m＜2

5

時，直線與曲線只有一個公共點，
綜上，滿足題意得m的范圍是-2

5

≤m＜2

5

或m=5．
故選D

點評：此題考查了直線與曲線的位置關系．根據曲線方程得出曲線表示在x軸上方的圖象，進而畫出圖形是解本題的關鍵，同時本題還考查了數形結合的思想及分類討論的思想，培養了學生發現問題，分析問題及解決問題的能力．