Question

在直角坐標系xOy中，動點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設動點P的軌跡為曲線C．
（1）寫出曲線C的方程；
（2）若直線y=x+m與曲線C有交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可判斷曲線C為橢圓，且a=2，c=

3

，根據a，b，c的關系，可求出b的值，進而得到橢圓方程．
（2）若直線y=x+m與曲線C有交點，則聯立橢圓與直線y=x+m的方程，得到的方程組必有解，消去y，得到關于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點，長半軸長為2的橢圓．
∴它的短半軸b=1
∴曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）聯立方程組

x2+ y2 4 =1 y=x+m

，
消去y得5x²+2mx+m²-4=0
因為曲線C與直線y=x+m有交點，所以△=4m²-20（m²-4）≥0
化簡得m²-5≤0
解得-

5

≤m≤

5

所以m的取值范圍為[-

5

，

5

]

點評：本題主要考察了定義法求橢圓方程，以及直線與橢圓相交位置關系的判斷．