Question

【題目】如圖，已知動直線交圓于坐標原點和點，交直線于點；

（1）若，求點、點的坐標；

（2）設動點滿足，其軌跡為曲線，求曲線的方程；

（3）請指出曲線的對稱性、頂點和圖形范圍，并說明理由；

（4）判斷曲線是否存在漸近線，若存在，請直接寫出漸近線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）曲線關于軸對稱,曲線的頂點為；圖形范圍滿足，理由見解析（4）存在，

【解析】

（1）已知可得點的橫坐標為6，結合，求出坐標，進而求出直線方程，與圓方程聯立，即可求出點坐標；

（2）設所在直線方程為，與圓方程聯立，求出含有的兩點坐標，設，，將向量用坐標表示，求出曲線以為參數的方程，消去，即可求解；

（3）由（2）曲線方程為，取為，方程不變，可判斷曲線對稱性；再由，求出的取值范圍，，，求出定點坐標；

（4）由的范圍，結合分式變化趨勢，可確定漸近線方程.

（1）由已知可得點的橫坐標為6，則縱坐標為，

設直線為，把點坐標代入得則，

聯立，

解得．

∴，.

（2）設所在直線方程為，

聯立，得，，

又，，

∴，

設，則，消去得：；

（3）取為，曲線方程不變，∴曲線關于軸對稱；

由，解得：，

∴曲線的頂點為；圖形范圍滿足；

（4）當時，若，則，

∴曲線的漸近線方程為．