Question

已知函數f（x）=，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設b＞0．若?x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）①當b=0時，f（x）=．
故f（x）的單調減區間為（-∞，0），（0，+∞）；無單調增區間．
②當b＞0時，f′（x）=．
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=-．
f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（-∞，-）	-	（-，）		（，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的單調減區間為（-∞，-），（，+∞）；單調增區間為（-，）．
③當b＜0時，f（x）的定義域為D={x∈R|x≠±}．
因為f′（x）=＜0在D上恒成立，
故f（x）的單調減區間為（-∞，-），（-，），（，+∞）；無單調增區間．
（Ⅱ）解：因為b＞0，x∈[，]，
所以f（x）≥1等價于b≤-x²+x，其中x∈[，]．
設g（x）=-x²+x，g（x）在區間[，]上的最大值為g（）=．
則“?x∈[，]，使得b≤-x²+x”等價于b≤．
所以b的取值范圍是（0，]．
分析：（Ⅰ）分情況討論：①當b=0時，②當b＞0時，③當b＜0時，然后利用導數即可求得單調區間；
（Ⅱ）f（x）≥1等價于b≤-x²+x，g（x）=-x²+x，則“?x∈[，]，使得b≤-x²+x”等價于b小于等于g（x）在區間[，]上的最大值．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立及函數在區間上的最值問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力．