Question

【題目】如圖所示的五面體中，是正方形，是等腰梯形，且平面平面，為的中點，，．

（1）求證：平面平面；

（2）為線段的中點，在線段上，記，是線段上的動點． 當為何值時，三棱錐的體積為定值？證明此時二面角為定值，并求出其余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）時，為定值；二面角為定值的證明詳見解析，余弦值為.

【解析】

（1）余弦定理求出邊OA即可利用勾股定理推出，利用面面垂直的性質推出，則平面，由平面即可得證；（2）當時易證平面，則到平面的距離固定即三棱錐的體積為定值，建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量、，代入即可求得二面角的余弦值.

（1）由，得，O為中點且，則，

故，

在中，，所以，則，

根據對稱性可知，從而，所以．

又平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，所以．

，平面，平面，

所以平面，平面，所以平面平面．

（2）當時，是的中位線，．

平面，平面，所以平面，

所以到平面的距離固定，此時，是定值．

以點為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

．

，設平面的法向量為，則有

，令，得，所以．

由（1）可知，是平面的一個法向量．

所以，為定值．

根據圖形可知，二面角為鈍角，故其余弦值為．