Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于M（

3π

4

，0）對稱，且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）求函數y=

-f(x)- 1 2

的定義域．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由f（x）為偶函數，求得φ=

π

2

．由圖象關于M（

3π

4

，0）對稱，可得cos

3πω

4

=0，求得ω=

2

3

（2k+1），k∈z．再根據f（x）在[0，

π

2

]上是單調函數，可得ω≤2，從而求得ω和φ的值．
（2）由函數f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，令2π-π≤2x≤2kπ，求得x的范圍，可得函數的單調增區(qū)間．
（3）先求得y=

-f(x)- 1 2

=

-cos2x- 1 2

，由-cos2x-

1

2

≥0，可解得cos2x≤-

1

2

，從而由余弦函數的圖象和性質可得函數y=

-f(x)- 1 2

的定義域．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數，∴f（0）=sinφ=±1，∵0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
又∵圖象關于M（

3π

4

，0）對稱，∴cos

3πω

4

=0，∴

3πω

4

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴ω=

2

3

（2k+1），k∈z．
又∵f（x）在[0，

π

2

]上是單調函數，∴

2π

ω

≥π，∴ω≤2．
∴當k=1時，ω=2，可得 φ=

π

2

，ω=2．
∴f（x）=sin（2x+

π

2

）．
（2）∵函數f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
由2π-π≤2x≤2kπ，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
∴函數的單調增區(qū)間[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
（3）∵y=

-f(x)- 1 2

=

-cos2x- 1 2

∴由-cos2x-

1

2

≥0，可解得cos2x≤-

1

2

∴由余弦函數的圖象和性質可得：

2π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，即有：

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z
故函數y=

-f(x)- 1 2

的定義域為：[

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z

點評：本題主要考查正弦函數的圖象和性質，余弦函數的單調性，函數定義域的求法，屬于基本知識的考查．