Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．
下列關于f（x）的命題：
①函數f（x）的極大值點為0，4；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點；
④函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1	2	1

其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：由導函數的圖象看出函數的單調區間及原函數的極值點，結合函數f（x）在定義域[-1，5]內的部分對應值表，可以作出函數f（x）圖象的大致形狀，由圖象形狀可以判斷四個命題的真假．

解答：解：由導函數的圖象可知，在定義域[-1，5]上，導函數有3個零點，分別是0，2，4，
且當x∈（-1，0）和x∈（2，4）時，導函數大于0，所以原函數在（-1，0），（2，4）上為增函數，
當x∈（0，2）和x∈（4，5）時，導函數小于0，所以原函數在（0，2），（4，5）上為減函數．
又f（-1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1，
所以原函數的圖象大致為：

由圖可知：函數f（x）的極大值點為0，4．所以命題①正確；
函數f（x）在[0，2]上為減函數．所以命題②正確；
當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．所以命題③正確；
函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、2、3、4個．所以命題④不正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查的是判斷命題的真假，考查了利用導數研究函數的極值，考查了數形結合的解題思想，解答此題的關鍵是通過導函數的圖象得到原函數的單調區間及極值點的情況，屬中檔題．