Question

已知函數

（1）求函數在點(0,f(0))處的切線方程；

（2）求函數單調遞增區間；

（3）若∈[1，1]，使得（e是自然對數的底數），求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）函數在點處的切線方程為； （2）函數單調遞增區間；

（3）實數a的取值范圍是.

【解析】

試題分析：⑴ 先根據函數解析式求出，把代入求出斜率，進而求得切線方程；⑵ 因為當時，總有在上是增函數， 又，所以函數的單調增區間為；⑶ 要使成立，只需成立即可；再分和兩種情況討論即可.

試題解析：⑴ 因為函數，

所以，， 2分

又因為，所以函數在點處的切線方程為． 4分

⑵ 由⑴，．

因為當時，總有在上是增函數，

又，所以不等式的解集為，

故函數的單調增區間為 8分

⑶ 因為存在，使得成立，

而當時，，

所以只要即可 9分

又因為，，的變化情況如下表所示：

	減函數	極小值	增函數

所以在上是減函數，在上是增函數，所以當時，的最小值

，的最大值為和中的最大值．

因為，

令，因為，

所以在上是增函數．

而，故當時，，即；

當時，，即．

所以，當時，，即，函數在上是增函數，解得；當時，，即，函數在上是減函數，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為 13分

考點：導數的幾何意義、導數的應用、構造法的應用.