Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P(1，)、A、B在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

(2)求證：當△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由＝及解得a2＝4，b2＝3， 　　橢圓方程為；2分 　　設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得 　　(x1＋x2－2，y1＋y2－3)＝m(1，)，即 　　又，，兩式相減得 　　；6分 　　(2)設AB的方程為y＝，代入橢圓方程得：x2－tx＋t2－3＝0， 　　△＝3(4－t2)，|AB|＝， 　　點P到直線AB的距離為d＝， 　　S△PAB＝＝(－2＜t＜2)．10分 　　令f(t)＝3(2－t)3(2＋t)，則f’(t)＝－12(2－t)2(t＋1)，由f’(t)＝0得t＝－1或2(舍)， 　　當－2＜t＜－1時，f’(t)＞0，當－1＜t＜2時f’(t)＜0，所以當t＝－1時，f(t)有最大值81， 　　即△PAB的面積的最大值是； 　　根據韋達定理得x1＋x2＝t＝－1，而x1＋x2＝2＋m，所以2＋m＝－1，得m＝－3， 　　于是x1＋x2＋1＝3＋m＝0，y1＋y2＋＝3＋＋＝0， 　　因此△PAB的重心坐標為(0，0)．13分