Question

已知函數f（x）=

(3-a)x-3      x≤7     ax-6             x＞7

且對任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先判定函數f（x）的單調性，再根據單調性求出a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=

(3-a)x-3      x≤7     ax-6             x＞7

，
對任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，
即

x1-x2＞0 f(x1)-f(x2)＞0

，或

x1-x2＜0 f(x1)-f(x2)＜0

；
∴f（x）是R上的增函數，
∴

a＞1 3-a＞0 7(3-a)-3≤a7-6

，
解得

9

4

≤a＜3；
∴a的取值范圍是[

9

4

，3）．

點評：本題考查了分段函數的單調性的判定與應用，是基礎題．