Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，是棱的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）存在，且.

試題分析：（1）先由底面為矩形得到，然后利用直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先證平面，于是得到，然后再利用三線合一得到，然后利用直線與平面垂直的判定定理即可得到平面；（3）利用（2）中的結論平面，結合條件平面平面，得到平面，連接交于點，利用直線與平面平行的性質定理得到，最后利用相似三角形來求的值.
試題解析：（1）因為底面是矩形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為，，，
所以平面，
又因為平面，
所以.
因為，且為中點，
所以.
又因為，
所以平面.
（3）如圖，連接交于點，在平面中過作交于點，連接、.

因為平面，
所以平面.
又因為平面，
所以平面平面.
在矩形中，因為，
所以.
在中，因為，
所以.
則在棱上存在點，使得平面平面，此時.