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設橢圓的離心率，是其左右焦點，點是直線（其中）上一點，且直線的傾斜角為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若是橢圓上兩點，滿足，求（為坐標原點）面積的最小值.

(Ⅰ) ；（Ⅱ）．

解析試題分析：(Ⅰ) 根據及得；（Ⅱ）分斜率存在和不存在進行討論，當斜率不存在，易求得，當斜率存在時，利用弦長公式表示出再表示出面積,得,從而的最小值為．
試題解析：（Ⅰ）,
則,故 .
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，可設代入橢圓得
，此時， , 當直線的斜率存在時，設代入橢圓得：
,   設,
則 ,
由得：

當時，取等號，又，故的最小值為 .
考點：直線與橢圓的位置關系綜合應用.

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知橢圓的左右焦點為F₁，F₂，離心率為,以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為， (1)求橢圓的方程；(2) 設直線l過橢圓的右焦點F₂（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m,0），試求m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

極坐標系中橢圓C的方程為
以極點為原點，極軸為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程；若橢圓上任一點坐標為，求的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦交于點，且直線與的傾斜角互補，
求證:.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ) 設點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4，過點的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點在軸上，離心率，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）斜率為的直線與橢圓相交于兩點，求證：直線與的傾斜角互補.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，△AF₁F₂為正三角形，且以線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點P為焦點F₁關于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.