Question

已知離心率為e=2的雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)，雙曲線C的右焦點關(guān)于直線x+y+=0的對稱點在雙曲線C的左準線上．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)過點M(5，0)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，若，求直線l的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵e=2，∴=2①

設(shè)右焦點F(c，0)關(guān)于直線x+y+=0的對稱點為(x₀，y₀)

則解得x₀=,∴②

由①②得，從而b=，∴雙曲線方程是x²-=1

(Ⅱ)設(shè)直線l:y=k(x-5)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

∵，∴(x₂-x₁，y₂-y₁)=3(5-x₂，-y₂)

∴x₂-x₁=3(5-x₂)，x₁=4x₂-15①

由,得(3-k²)x²+10k²x-25k²-3=0

②

x₁+x₂=③     x₁·x₂=④

由①②得代入④得

解得k=±1滿足②

∴l方程為x-y-5=0或x+y-5=0 。