Question

已知離心率為e=2的雙曲線C:-=1(a＞0，b＞0)，雙曲線C的右焦點關于直線x+y+=0的對稱點在雙曲線C的左準線上.

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)過點M(5，0)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，交y軸于N點，當，且=3時，求直線l的方程.

Answer 1

解：(I)∵e=2∴=2①

設右焦點F(e,0)關于直線x+y+=0的對稱點為(x₀,y₀)

則解得∴  ②

由①②得從而雙曲線方程是=1

(Ⅱ)設A(x_l,y₁),B(x₂,y₂),直線l：y=k(x-5),則N(0,-5k)

∴(5,5k)=3(5-x₁,-y₁),

∵A(x₁,y₁)是雙曲線=1上的點

∴(5)²=1  整理得72λ²-150λ+75-25k²=0同理72μ²-150′μ+75-25k²=0

∴λ,μ是方程72x²-150x+75-25k²=0的兩個根

∴

又∴,解得k=±1

∴l方程為x-y-5=0或x+y-5=0