Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=n²+n（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求證：．

Answer 1

（I）解：由2S_n=n²+n（n∈N^*）．①
當n≥2時，2S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=n
當n=1時，a₁=1也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=n；
（II）證明：∵
∴=
分析：（I）已知2S_n=n²+n（n∈N^*）．①，當n≥2時，2S_n-1=（n-1）²+n-1②，兩式相減①-②得a_n=n，驗證當n=1時，a₁=1也滿足上式，可得數列{a_n}的通項公式；
（II）根據，可得=
點評：本題以數列{a_n}的前n項和為S_n為載體，考查數列的通項，考查裂項法求數列的和，考查放縮法證明不等式，綜合性強．