Question

【題目】綜合題。
（1）求函數f（x）=sin2x+cosx+1，x∈[﹣ ， ]的值域．
（2）求函數 的定義域和單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1﹣cos2x+cosx+1

=﹣cos2x+cosx+2，

令t=cosx，則t∈[0，1]，

則 y=﹣t2+t+2，t∈[0，1]；

所以當t=0或1時，ymin=2；

當 時， ；

所以f（x）的值域是

（2）解：∵函數 ，

令 ，

解得 ；

所以 的定義域為 ；

令 ，

由y=tant在 ，k∈Z內單調遞增，

令﹣ +kπ＜ + ＜ +kπ，k∈Z，

解得﹣ +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z，

所以 在（﹣ +2kπ， +2kπ），k∈Z上單調遞增

【解析】（1）化簡f（x）為cosx的二次函數，用換元法令t=cosx，從而求出f（x）的值域；（2）根據正切函數的定義域和單調性，即可求出函數 的定義域和單調增區間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦函數的單調性的相關知識，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數，以及對三角函數的最值的理解，了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．