Question

【題目】已知正項數列的前n項和為，對于任意的，都有.

（1）求，；

（2）求數列的通項公式；

（3）令問是否存在正數m，使得對一切正整數n都成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）分別代入和，結合解方程可求得結果；

（2）利用得，兩式作差整理可得，從而證得數列為等差數列，由此可求得通項公式；

（3）由（2）可求得，將問題轉化為恒成立，通過求解不等式右側數列的單調性，可求得時取最小值，由此可得的取值范圍.

（1）當時，，又，；

當時，，即，解得：.

（2）由得：，

，

則，，

兩式作差得：，，

數列是以為首項，為公差的等差數列，.

（3）由（2）知：，，

，，

假設存在整數，使得對一切正整數都成立，

設，，

則，

為遞增數列，，

由恒成立知：，

存在正實數，使得對一切正整數都成立.