Question

如果雙曲線的焦距、虛軸長、實軸長成等比數列，則離心率e為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,等差數列與等比數列,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由焦距、虛軸長、實軸長成等比數列，可得b²=ac，再結合b²=c²-a²可得c²-a²=ac，即e²-e-1=0則可求出e．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距、虛軸長、實軸長成等比數列，
∴（2b）²=（2a）•（2c）
∴b²=ac，
又∵b²=c²-a²
∴c²-a²=ac
∴e²-e-1=0
∴e=

1± 5

2

，
又在雙曲線中e＞1
∴e=

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．

點評：此題主要考查了求雙曲線的離心率．關鍵是要利用題中的條件建立a，b，c的關系式再結合c²=a²+b²和兩邊同除以a²即得到關于e的方程求解即可，但要注意雙曲線中e＞1，橢圓中0＜e＜1這一隱含條件！