Question

【題目】如圖，扇形AOB是一個觀光區的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為，半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區內鋪設一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設∠AOC＝θ.

(1)用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍；

(2)當θ為何值時，觀光道路最長？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用表示CD的長度的關鍵是在中正確利用正弦定理；

（2）首先將道路長度表達成的函數關系式，再利用導數方法研究函數的最大值，從而可以求得時，觀光道路最長.

(1)在△OCD中，由正弦定理，得

＝＝＝，

所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ，

因為OD<OB，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<，

所以CD＝cos θ＋sin θ，θ的取值范圍為.

(2)設觀光道路長度為L(θ)，

則L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的長

＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ

＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈，

L′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1，

由L′(θ)＝0，得sin＝，

又θ∈，所以θ＝，

列表：

θ
L′(θ)	＋	0	－
L(θ)	增函數	極大值	減函數

所以當θ＝時，L(θ)達到最大值，即當θ＝時，觀光道路最長．